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2008.07.19 (Sat)

ド・モアブルの定理の数学的帰納法を用いた証明

(i は虚数単位とします)

ド・モアブルの定理
「任意の整数nについて、
(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)
が成り立つことを示せ」
(証明)

(i)n=0のとき
(cosθ+i・sinθ)0=1
cos(0・θ)+i・sin(0・θ)=cos0+i・sin0=1

よって、(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)

(ii)n=kのとき、
(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)が成り立つと仮定する。
つまり、(cosθ+i・sinθ)k=cos(kθ)+i・sin(kθ)

n=k+1のときについて考えると、
(cosθ+i・sinθ)k+1
=(cosθ+i・sinθ)
=(cosθ+i・sinθ)k (cosθ+i・sinθ)
={cos(kθ)+i・sin(kθ)}(cosθ+i・sinθ)
=cos(kθ)cosθ-sin(kθ)sinθ+i・{cos(kθ)sinθ+sin(kθ)cosθ}
(加法定理より、)
=cos(kθ+θ)+i・sin(kθ+θ)
=cos( (k+1)θ)+i・sin( (k+1)θ)

となり、n=kのときに等式(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)が成り立つのならば、
n=k+1のときにも、等式(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)は成り立つ。

以上(i)(ii)より、nが0以上の整数のときに
等式(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)が成り立つことが示された。

(iii)n<0のとき、n=-mを満たす整数mについて考える。
n<0,n=-mで、mは整数なので、mは自然数。

なので、n=mのとき、等式(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)は成り立つ。

n=-mのとき、

(cosθ+i・sinθ)-m
=1/(cosθ+i・sinθ)m
=1/{cos(mθ)+i・sin(mθ)}
={cos(mθ)-i・sin(mθ)} / {cos(mθ)+i・sin(mθ)}{cos(mθ)-i・sin(mθ)}
={cos(mθ)-i・sin(mθ)} / cos2(mθ)+sin2(mθ)
={cos(mθ)-i・sin(mθ)} / 1
=cos(mθ)-i・sin(mθ)

(cos(-α)=cosα,sin(-α)=-sinαなので、)

=cos(-mθ)+i・sin(-mθ)

よって、nが負の数のときにも、等式(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)は成り立つ。

以上(i)(ii)(iii)より、
任意の整数nについて、
(cosθ+i・sinθ)n=cos(nθ)+i・sin(nθ)
が成り立つ。

(Q.E.D.)

ま、これはこれでよろしいかと。

それでは。
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21:38  |  代数学-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

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 |  2008.07.19(土) 23:00 |   |  【コメント編集】

■心理テスト~

僕のほうの日記に結構有名な心理テスト乗っけてん
一回といてみて~
botsu |  2008.07.20(日) 21:38 |  URL |  【コメント編集】

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