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2008.07.21 (Mon)

極形式の割り算・方程式の解法

極座標
複素数の表し方
極形式の練習
複素数(極形式)の掛け算
の続きです。

今までのものは、すべて、方程式を解くためにやってきたことですね。
(この記事では i は虚数単位とします。)

最後に、極形式の割り算です。
・・・だと言っても、目新しいことはありません。
掛け算の際は、「絶対値は掛け算」「偏角は足し算」ということでしたね。
同じように考えればいいのです。
割り算の際は、「絶対値は割り算」「偏角は引き算」ということでOKです。

Z1=r1(cosθ1+i・sinθ1)
Z2=r2(cosθ2+i・sinθ2)


のとき、

Z1/Z2=(r1/r2){cos(θ12)+i・sin(θ12)}

ということです。

もう、これで十分ですね。
極形式からも、ド・モアブルの定理は理解できますね。

数学的帰納法を用いた証明は、
ド・モアブルの定理の数学的帰納法を用いた証明
をご覧ください。

それでは、極形式について、一通りのことはできるようになりました。
これにより、ド・モアブルの定理も理解はできたということになります。

そして、このド・モアブルの定理を用いると、実数係数でない方程式も簡単に解くことができるのです。

二次方程式
x2=1+(√3)i
を解け


このくらいの問題だったら、xも複素数であることは容易に分かるので、x=a+biとでも置いて計算しても解けないことはないのですが、ここでは極形式を用いて解いてみます。

(解答)
1+(√3)iの絶対値は2、偏角はπ/3なので、
1+(√3)i = 2(cosπ/3 + i・sinπ/3)
となる。

よって、
x2= 2(cosπ/3 + i・sinπ/3)

また、x=r(cosθ+i・sinθ)
とおくと、
x2=r2(cosθ+i・sinθ)2
ド・モアブルの定理より、
x2=r2(cos2θ+i・sin2θ)

よって、
x2= 2(cosπ/3 + i・sinπ/3)=r2(cos2θ+i・sin2θ)

ここで、絶対値と偏角について考えると、
r2=2、2θ=π/3
よって、
r=±√2、θ=π/6

これより、
x=±√2 (cosπ/6 + i・sinπ/6)

よって、
x=±(√6 / 2 + √2・i / 2)

ということですね。


まあ、厳密にいえば2θ=π/3 + 2nπ (nは自然数)
と一般角表示が必要です。


今回はこれで終わります。
後日、練習問題でもしましょう。

それでは。
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