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2008.07.22 (Tue)

対数関数

対数とは、蓋を開けてみれば簡単なことなんですが、その蓋がなかなか開かない。
そんなところでしょうか。

対数は、
logay=x(対数関数)
の形をとりますね。

これは、
ax=y(指数関数)
と同値です。つまり、同じことを表しています。

指数関数では、aをx乗するとyになる、ということですね。そのくらいなら、誰でも分かるでしょう。

対数関数も、同じことを意味しているといえばそうなのですが、このように考えてみましょう。

logayとは、aを何乗すればyになるか、ということです。

つまり、yはaの何乗であるのか、ということです。

だから、最初に示した対数関数の意味は、
aを何乗かすればyになる。それは、x乗すればよい
程度のことを示しているのです。

そして、決まり事がありますね。
上の対数関数において、aを底、yを真数と言いますが、まず、どちらも正でなければなりません。

何故だかわかりますね。

もとの形、すなわち、指数関数を思い出してください。
ax=y
です。
ここでは、aが負のときは定義されません。関数になりませんから。
そして、aは正なので、xが何であろうと、yは正になります。
つまり、aもyも正であるのです。

このことを踏まえると、対数関数においての「底と真数は正」という条件は飲み込めます。

問題は次です。

「a≠1」という条件がありますね。

いや、今日学校で教科書を見たばかりなのですが、その時少し考えたらすぐに分かりましたね。

y÷0=x

というものと同じようなものだ
、と自分の中で結論付けました。


まあ、そう言われても、分かりづらいとは思います。

説明します。

まず、上の割り算ですが、y÷0=xという式において、

これは、y=0xというように変形できますね。

ここで、yの値でxの値を考えると、

y=0のとき、xはすべての数
y≠0のとき、これを満たすxはない

ということになり、yが0であろうとなかろうと、xはyの関数ではありません。


それでは、次に、logay=xの底が1のとき、すなわちa=1なので、

log1y=x

について考えてみましょう。

これは、「1を何乗かするとyという数になるが、それは、x乗したものである」という意味ですね。

ここで、yの値でxの値を考えてみましょう。

y=1のとき、xはすべての数です。1のi乗も1ですよ。
y≠1のとき、これを満たすxはありません。

1を何乗しても、必ず1になりますからね。どんなに頑張っても、1以外にはなりませんね。
畢竟するに、これも、yが1であろうとなかろうと、xはyの関数ではありません。


・・・ということを咄嗟に考え付いたのですが、まあ、正しいことは明日分かるでしょう。


また、
alogan=n
というのは、分かりやすいですね。

loganというのは、aを何乗したらnになるか、という数を表しますね。仮に、この数をbとおくと、
ab=n
ということになります。

logan=bなので、

alogan=ab
となるので、結局、

alogan=n

ということになりますね。

まあ、ほかにもいろいろありますが、まあ、今日はこのぐらいで終わりにしてください。

後は、指数関数と対数関数は逆関数の関係にあるということぐらいですかね。

それでは。

ちなみに、対数で、eという文字もでてきますね~
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20:36  |  解析学-math  |  TB(0)  |  CM(3)  |  EDIT  |  Top↑

*Comment

■素朴な発言

や~あれはxにマイナスついたり、ログにマイナスついたらグラフが書けにゃ~^^;
影 |  2008.07.22(火) 22:40 |  URL |  【コメント編集】

■>>影さん

結局、「関数でない」というのと同じような意味ですね。
あと、ここではyを真数としているので、xにプラスがつこうとマイナスがつこうと構いません。
あと、対数自体にマイナスがついても、グラフは描けますが。

-(2を何乗したら4になるのか)=-2
です。
Pen. |  2008.07.22(火) 23:16 |  URL |  【コメント編集】

■素朴な発言

や、グラフは書けるらしいけど、ピンとこんのじゃ…
影 |  2008.07.23(水) 19:32 |  URL |  【コメント編集】

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