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2008.07.24 (Thu)

7/23解答、7/24問題

昨日の京大の問題
「tan1°は有理数か」
なんですが、
「はい」とか「いいえ」とかで答える問題だと思いますか?

有理数なら有理数でその証明を、そして、無理数でも然り、ですよ。

それでは、解答です。

ちなみに、一週間ほど、このスタイルを続けていこうと思います。
(解答)
tan1°が有理数だと仮定する。
すると、tan2°は、tan(1°+1°)なので、加法定理より、

tan2°=tan(1°+1°)
=(tan2 1°)/ (1-2tan 1°)

tan1°は有理数なので、tan2 1°/ 1-2tan 1°も有理数。
よって、tan2°は有理数。

また、tan4°はtan(2°+2°)なので、上と同様、加法定理より、有理数であることが分かる。

このようにしていくと、tan1°が有理数だと仮定すると、
2°,4°,8°,16°,32°・・・
の正接の値も有理数であることが分かる。

ここで、tan30°= 1 / √3 なので、無理数である。

また、tan30°=tan(32°-2°)なので、加法定理より、
tan30°=tan(32°-2°)
= (tan32°-tan2°) / (1+tan32°tan2°)

tan32°,tan2°は有理数なので、(tan32°-tan2°) / (1+tan32°tan2°)も有理数である。
よって、tan30°は有理数となるが、tan30°は無理数であるので、矛盾。

よって、tan1°は無理数である。

最低でもこのくらいの解答は必要だと思います。

それでは、今日の問題。

鋭角三角形ABCの 3 つの内角をそれぞれ A , B , C で表し、 A ≦ B ≦ C とする。
(1) tan A のとる値の範囲を求めよ。
(2) tan C を tan A と tan B の式で表せ。
(3) tan A , tan B , tan C がすべて整数のとき、 tan A , tan B , tan C の値を求めよ。
[2004 名城大・理工]


三角比の問題というわけではありません。
整数問題です。
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