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2008.07.25 (Fri)

7/24解答、7/25問題

7/24の問題です。

鋭角三角形ABCの 3 つの内角をそれぞれ A , B , C で表し、 A ≦ B ≦ C とする。
(1) tan A のとる値の範囲を求めよ。
(2) tan C を tan A と tan B の式で表せ。
(3) tan A , tan B , tan C がすべて整数のとき、 tan A , tan B , tan C の値を求めよ。
[2004 名城大・理工]


これだけ誘導してくれたら簡単ですね。
解答を示しましょう。
(解答)

(1) A,B,Cは鋭角三角形の内角なので、
0°≦A≦90°,0°≦B≦90°,0°≦C≦90°,A+B+C=180°

また、条件A≦B≦Cより、3A≦A+B+C=180°
∴A≦60°
これと、0°≦A≦90°より、
0°≦A≦60°
これより、
0≦tan A≦√3

(2) C=180°-(A+B)
なので、
tan C = tan(180°-(A+B)) = -tan (A+B)
加法定理より、
tan C = (-tan A - tan B) / (1-tan A tan B)

(3) (1)より、この条件を満たすtan Aの値は、
tan A = 1
この値を (2) の結果に代入すると、
tan C = (-1 - tan B) / (1-tan B)
∴tan C -tan B tan C +tan B+1=0
∴-(tan B - 1)(tan C - 1)+2=0
∴(tan B - 1)(tan C - 1)=2

B≦C,0°≦B≦90°,0°≦C≦90°より、
0≦tan B ≦tan C

このことと、tan B,tan Cはそれぞれ整数であることを考慮すると、
(tan B - 1)(tan C - 1)=2
を満たす(tan B,tan C)の組は、(tan B,tan C)=(2,3)であることが分かる。

以上より、
(tan A,tan B,tan C)=(1,2,3)

それでは、本日の問題です。

3辺の長さが 5 , 12 , 13 である三角形において、長さが 12 , 13 である2辺によってはさまれる角の大きさをθとする。このとき n°< θ < ( n + 1 )°となる整数 n は   である。
[2007 早稲田大・教育]


下線部に当てはまる数字を答えてください。
勿論、説明と共に。

それでは。
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19:15  |  大学入試-math  |  TB(0)  |  CM(2)  |  EDIT  |  Top↑

*Comment

■素朴な発言

まず三平方からこれは直角三角形。
だからθ<90ってかその前に辺の長さ5の辺の対辺やからθ=90×5/17=450/17
26<450/17<27 よってn=26
略式解答やけどそこは多めにネ♪
影 |  2008.07.25(金) 19:47 |  URL |  【コメント編集】

■>>影さん

残念ながらn=26ではありません。
あと、角度の比がと辺の比が等しくなるなんていうことはありませんので、
θ=90°・(5/17)
という考え方も誤りです。

例えば、三辺の長さが1,2,√3
の三角形を考えてください。

90°の角は、長さが1の辺と√3の辺に挟まれた角です。

ここで、他の二つの角を求めるのに、
例えば、1と2にはさまれた角を、
90°・1/(1+√3)=(-45+45√3)°
とするのは誤りですね。
もちろん、60°が正しい角ですよ。

ちなみに、昨日の問題は簡単でしたが、今回の問題は解けたら大したものだと思います。
Pen. |  2008.07.25(金) 20:44 |  URL |  【コメント編集】

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