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2008.07.26 (Sat)

7/25解答、7/26問題

昨日の問題はその前とうってかわって難しかったと思います。
今日は、その解説をした後は、小学生でも解ける(小学生の方が簡単?)な問題を一問出題します。
7/25の問題です。
3辺の長さが 5 , 12 , 13 である三角形において、長さが 12 , 13 である2辺によってはさまれる角の大きさをθとする。このとき n°< θ < ( n + 1 )°となる整数 n は   である。
[2007 早稲田大・教育]

これは難問ですね。
(解答)
この三角形は、
52+122=132
を満たす。
⇔この三角形は長さが5の辺と12の辺で挟まれた角が直角である直角三角形。

長さが 12 , 13 である2辺によってはさまれる角の大きさがθなので、
tanθ=5/12
となる。

ここで、tan 2θを計算する。
倍角の公式より、tanθ=5/12を代入して計算すると、
tan 2θ=120/119
である。
これは、1より大きいので、2θは45°より大きく、90°より小さいことが分かる。
よって、
2θ=(π/4)+α
(αは0より大きくπ/4より小さい角)
と表せる。

これを、tan 2θに代入すると、
tan 2θ=tan(π/4+α)
この値が120/119なので、
加法定理より、
(1+tanα) / (1-tanα) = 120/119

これを、tanαについて解くと、
tanα=1/239

tanαは、0<α<π/4の範囲では、
tanα>α
なので、
0<α<tanα=1/239
つまり、
αは弧度法で0より大きく1/239より小さい角である。
度数法で表わすと、
0°<α<(1/239 ・ 180/π)°<1°
なので、
αは1°未満の角である。

よって、
45°<2θ<46°
∴22.5°<θ<23°

よって、求める整数nは、
22
である。


それでは、本日の問題を出します。
誰でも十分解けるとは思いますが、小学生の方が簡単に解ける可能性が高いです。

重さの異なる4個の玉が入っている袋から玉を1つ取り出し、元に戻さずにもう1つ取り出したところ,2番目の玉の方が重かった。2番目の玉が、4個の中で最も重い確率はどれか。
(1)1/4 (2)1/3 (3)1/2 (4)2/3 (5)どれでもない
[1986 防衛医大・1次]
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*Comment

■素朴な発言

 初めてこのホームページを見させてもらった者です。7/25の問題を解いてみたのですが、三角比さえ分かっていれば解けると思います。
 この三角形の面積は5×12×1/2=30であり、それは1/2×12×13sinθによって求められるから、sinθ=5/13である。これより22°<θ<23°である。したがってn=22である。
 あと、本日の問題を解かせていただきました。自信はないですが、答えは(3)だと思いました。
{理由}2番目の球が一番重い場合、1番目の球は、4つの中で2番目、3番目、4番目に重い場合と3通りある。2番目の球が2番目に重い場合、1番目の球は、4つの中で3番目、4番目に重い場合と2通りある。2番目の球が3番目に重い場合、1番目の球は4つの中で4番目に重い場合の1通りがある。すべて合わせて考えると、2番目の球が重い確率は3/1+2+3=1/2である。
nko |  2008.07.27(日) 09:12 |  URL |  【コメント編集】

■素朴な質問

わおぅ!
なんかしょうもない答えのした自分が恥ずかしい…。
ども、nkoさん、
ってかどうやったらsinθ=13/5から22<θ<23を導いたか教えてくれれば幸いです。
あとちなみに、そんな面積でややこしくしなくても、sinθ=5/13ってのはわかるんじゃ…?

ま、劣等生の質問と捉えてくださって結構ですので、できれば丁寧に教えて欲しいです…。
影 |  2008.07.27(日) 22:11 |  URL |  【コメント編集】

■7/25の問題について

googleの計算機機能で、

arcsin(5/13)*(180/π)
と、度数法の値を求めさせたら、
θ≒22.6198649°
ということになりました。
Pen. |  2008.07.27(日) 23:04 |  URL |  【コメント編集】

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